2nd-Order Linear Differential Equations (2ndLDE)

2nd-Order Linear Differential Equations – 2ndLDE

A differential equation (DE) is an equation involving a function f(x) and its derivatives (x).

(Phương trình Vi Phân tuyến tính cấp 2 – Vietnamese. Phương trình)

Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm là y = f (x) và các phương trình chứa biến x  như P(x) Q(x) và các cấp đạo hàm của nó. 

Let’s forget what you have learned about Math during university 🙂

In Mechanical/Electrical engineering and Rotating equipment, the 2ndLDE is the most application in calculation of vibration, oscillation and circuit. Through this chapter, you will have the first sight of real mechanical problems evaluation.

oscda8
An application of 2ndLDE in Mechanical vibration analisys.

50
Two type of 2ndLDE: (1) Non-homogeneous & (2) Homogeneous 

There’re two basic facts (Theorem – định lý) enable us to solve homogeneous linear equations.

51.png
The additional Constants C1&C2 called constants. 

The other fact we need is given by the following theorem, which is proved in more
advanced courses. It says that the general solution is a linear combination of two linearly independent solutions y1 and y2. This means that neither nor is a constant by multiple of the other. y1(x)/y2(x) # constant

Why we have to use linearly independent solutions concept???

Proof:

55.png
If y1 & y2 are linear dependant –> A and B can be anything and never united as complying with the Boundary-value problem condition which raised by the actual Complex Problems. (nghiệm y bằng y1 + y2 phụ thuộc tuyến tính thì chả khác gì một hàm số thông thường, không thể dùng để giải quyết các bài toán phức tạp với các điều kiện biên cho trước).

For instance, the functions y1(x) = x and y2(x) = 5x are linearly dependent ( 2 nghiệm phụ thuộc tuyến tính) but y1(x) = x and y2(x) = 5x^2 are linearly independent. ( 2 nghiệm độc lập tuyến tính). Hence C1 & C1 are no more the constants but the Arbitary constants (hằng số tùy biến) —> Nghiệm tổng quát (general solution).

52.png
Theorem 4 is very useful because it says that if we know two particular linearly independent
solutions, then we know every solution. Với điều kiện biên cụ thể thì ta sẽ tìm được duy nhất 1 cặp C1 & C2 và cho ra nghiệm tổng quát của bài toán.

In general, it is not easy to discover particular solutions to a second-order linear equation. But it is always possible to do so if the coefficient functions P ,Q and  R are constant functions, that is, if the differential equation has the form:

53.png
the Exponential Function is never be “0” by derivation. By this way, we will find out the Auxiliary equation which will be used to find the solution of 2nd LDE – homogeneous.

“Sử dụng 2 nghiệm độc lập tuyến tính y1, y2 có dạng hệ số mũ e^rx để cho ra hàm số phụ, r sẽ được giải trong hàm số phụ, có r là có y1, y2 “

54.png
Yes, you have seen it somewhere in your life. Discriminant – Biệt thức Delta tìm nghiệm cho phương trình bậc 2.

Assumed that:

56

For instance, an example:

57.png

57.png

58
The graph of the solution

One thought on “2nd-Order Linear Differential Equations (2ndLDE)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s